Корректно написание строчными буквами.
Слова ученый совет пишутся строчными.
Да, правильно.
Правильно: в полку, о полке.
В орфографическом словаре рекомендовано написание: Совет безопасности, однако в «Кратком справочнике по оформлению актов Совета Федерации Федерального Собрания Российской Федерации» зафиксирован первый вариант (все слова с прописной).
Правильно: совет директоров.